Club de maths de Marseille

Alexander Bufetov chercheur au CNRS, est venu ce mercredi 17 octobre au club à la Frumam proposer quelques problèmes courts aux élèves présents.
Voici les énoncés en clip vidéo d'une minute chacun :

• Enoncé 1, Problème de proportions : https://youtu.be/yKIH47JGG4Q
• Enoncé 2, Trajet entre villes éloignées : https://youtu.be/MRPFRac03jg
• Enoncé 3, Echiquier rempli de nombres : https://www.youtube.com/watch?v=iJndGFaPg6g
• Enoncé 4, Propriété des polyèdres : https://youtu.be/_DF4vrvuN6k
• Enoncé 5, Hydre à 100 têtes : https://youtu.be/O_TT0KcuIlU

Outre ces problèmes, Sasha a proposé un problème "discussion" un peu plus complexe démontrer que 1+1/2+1/3+1/+4+..+1/n n'est jamais un nombre entier et un problème bonus : https://youtu.be/9UGoEiE2nVM

A vous de répondre, n'hésitez pas à proposer des solutions dans le fil de ce post. Les élèves présents, notamment Armel, ont réussi à répondre aux 5 énoncés avec parfois quelques légers petits coup de pouce. Je peux mettre en place si besoin un Framapad ou un Overleaf pour les réponses comme pour les premiers sujets.

Bonjour à tous, étant présent mercredi je vais pouvoir faire un petit résumé de nos résultats, parfois en donnant seulement des pistes de recherches.

Problème de proportions :

Dans ce problème nous avons cherché à maximiser le nombre de garçons, c'est à dire le nombre de fille devait être le plus petit possible.
Alors nous avons pu dire que pour qu'il y est le moins de filles, il fallait que toutes les filles participent aux deux expéditions.
De plus, pour avoir la plus grande part de garçons, il faut qu'il y est bien 2/5 des garçons dans chaque expéditions.

Pour comprendre plus facilement, nous avons pris un exemple :
Dans la première expédition sont partis 20 garçons et 30 filles. La part de garçons est bine respectée (20/50 = 2/5).
Dans la seconde expédition sont partis 20 nouveaux garçons ainsi que le 30 filles de la première expédition.
Au total, nous avons 20+20+30=70 élèves, dont 20+20=40 garçons, ce qui nous donne une proportion de garçons de 4/7.

Nous avons donc pu dire que la proportion maximale de garçons est de 4/7 mais ce problème peut être fait directement par une autre manière.

Trajet entre villes élognées :

Ce problème nous a été remarquablement expliqué par Armel, qui a donné une explication dont j'ai peut être oublié certains détails.

Le premier cas, le plus simple, consiste à prendre 3 villes A, B et C. L'énoncé interdisant l'aller-retour, c'est à dire que C doit être différent de A, alors pour que cela respecte la condition de longueur il faut que AB < BC < CA.
Or c'est impossible car si AB < AC le voyageur ne serait pas parti vers B mais vers C car il serait le point le plus éloigné. C'est pourquoi il ne pourrait pas retourner à A.
Le raisonnement reste le même en augmentant le nombre de villes.

Echiquier rempli de nombres :

Pour trouver la solution à ce problème, nous avons tout d'abord tenté de remplir une grille de 2 par 2 puis de 3 par 3 pour aboutir à la conclusion que ce n'était pas possible, hormis les cas où la grille était remplie de 0 ou de 1.
Nous avons ensuite essayé de le faire sur une ligne en partant de la valeur centrale et en complétant à gauche et à droite, ce que nous avons réussi. A partir de là, nous avons pu donné solution au problème mais je vous laisse le plaisir de chercher également.

Propriété des polyèdres :

En premier lieu nous avons construit différents polyèdres dans le but de vérifier si on ne pouvait pas construire un polyèdre dont les faces possédaient chacune un nombre de côtés différents.
Après réflexions, nous nous sommes aperçu que si l'on part du triangle et que l'on augmente le nombre côtés de la face voisine, on ne pourrait pas refermer le polyèdre.

Hydre à 100 têtes :

Nous n'avons pas pu résoudre ce problème mais nous avons essayer de construire cet hydre avec un nombre de tête moins important pour en observer la construction.

Problème "discussion" :

Pour ce problème, je propose tout d'abord de définir que n doit être supérieur ou égal à 2, si on ne veut pas que ce soit impossible (0) ou ou que ce soit un contre exemple (1).
Par la suite je pense qu'il faudrait tenter de faire des sommes d'inverses qui seraient égales à 1, par exemple 1/2 +1/3 +1/6 = 1, et continuait avec les termes qu'il resterait. L'inconvénient c'est que cela paraît très long. Mais prouver le contraire pourrait être possible.


Je pense ne rien avoir oublier.
Bonnes recherches

Tachen Lucas

Merci Lucas pour ce compte-rendu détaillé !

Dans le problème 3 (échiquier rempli de nombres), pour les petites grilles 2x2 et 3x3, la conclusion était que tous les nombres devaient être égaux (pas seulement 0 ou 1). On peut aussi ajouter qu'à la fin, suite à une remarque d'Armel, on a étendu la question au cas où l'échiquier est infini, et les nombres négatifs sont autorisés : alors la réponse est complètement différente.

Dans le problème 4 (une propriété des polyèdres), en partant d'un triangle on n'arrivait pas à refermer le polyèdre, mais on n'a pas réussi à le démontrer. Alors Sasha a suggéré de partir non pas d'un triangle, mais de la face ayant le plus grand nombre de côtés, et de voir quelles peuvent être les faces voisines.

Une question : avez-vous repéré quel était le point commun entre les cinq problèmes proposés par Sasha ? S'il fallait donner un titre à cette série de problèmes, quel pourrait-il être ?

Julien.

Merci Luca pour ce compte rendu et bravo tu es le premier élève à oser franchir le pas de poster sur ce forum.
Pour le problème de l'hydre à 100 têtes, il me semble qu'Armel a soulevé l'idée qu'il était proche en résolution d'un problème déjà vu auparavant, je te laisse cherché lequel.
Pour le problème discussion évidement le problème débute pour n>1 mais tu fais bien de remarquer ce qu'il se passe pour n=0 et n=1.
Tu as pu constater qu'il peut être très intéressant de commencer par des cas particuliers ou exemples pour trouver la résolution des problèmes.
En effet en mathématiques, ils peuvent être très utile :

• Pour des problèmes de recherche de maximum, un exemple donne un minorant par exemple le cas 50% filles 50% Garçons qui fonctionne pour le problème, nous dit déjà que la proportion maximale recherchée sera supérieure ou égale à 1/2
• Parfois la solution du problème devient plus visible dans les cas particuliers plus simples cf. problème de l'échiquier
• Un contre-exemple peut prouver qu'une propriété est fausse
• Ils peuvent aussi permettre d'amorcer un raisonnement par récurrence

Peut être que cette remarque peut te servir pour le problème-discussion.